Question

1．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证：AE+CF=EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．

小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长DC到Q使CQ=AE，连结BQ，
证出△BAE≌△BCQ得到BE=BQ，∠ABE=∠CBQ；
再证△BEF≌△BQF，得到EF=FQ，证出EF=CF+CQ，即EF=CF+AE．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．

Answer 1

分析 延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，则△BAE≌△BCK，然后可得BE=BK，∠ABE=∠KBC，再证明△KBF≌△EBF，可知KF=EF，所以KC+CF=EF，即AE+CF=EF．

解答 解：图2成立，图3不成立．
证明图2．
延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，
在△BAE与△BCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCk}\\{AE=CK}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△BCK（SAS），
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF与△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{BK=BE}\\{∠KBF=∠ABF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$
∴△KBF≌△EBF（SAS），
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
图3不成立，同理可证：AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF．

点评 本题考查全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论的思想，题目较为综合．