Question

6．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，分别作?ABFD与?ACGE，连接AF，CE．
（1）当点D在△ABC外，如图1，求证：AF=CE，AF⊥CE；
（2）当点D在△ABC内，如图2，问题（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，先利用SAS证明△EAC≌△FBA，则EC=AF，∠AFB=∠AEC，再延长FA交EC于G，证∠AEC+∠EAG=90°，即可得AF⊥EC；
（2）如图2，结论仍然成立，同理可证△EAC≌△FBA，则EC=AF，∠BAF=∠ECA，再由直角△ANC中两锐角互余得出结论．

解答 证明：（1）如图1，∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AD=BF，AD∥BF，
∴BF=AE，
∵AD∥BF，
∴∠DAB+∠FBA=180°，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=180°，
∴∠EAC=∠FBA，
在△EAC和△FBA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FBA（SAS），
∴EC=AF，∠AFB=∠AEC，
延长FA交EC于G，
∵AD∥FB，
∴∠AFB=∠DAF，
∴∠DAF=∠AEC，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAF+∠EAG=90°，
∴∠AEC+∠EAG=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥BC；
（2）如图2，结论仍然成立，理由是：
同理得：AB=AC，BF=AE，
作射线CA至H，则∠HAE+∠EAC=180°，
∵BF∥AD，
∴∠FBA+∠BAD=180°，
∵∠BAH=∠EAD=90°，
∴∠HAE+∠EAB=90°，∠BAD+∠EAB=90°，
∴∠HAE=∠BAD，
∴∠EAC=∠FBA，
∴△EAC≌△FBA，
∴AF=EC，∠BAF=∠ECA，
设CE与AB交于N，AF与EC交于点M，
∵∠BAC=90°，
∴∠ECA+∠ANC=90°，
∴∠BAF+∠ANC=90°，
∴∠AME=90°，
∴AF⊥EC．

点评 本题考查了等腰直角三角形、平行四边形、全等三角形的性质和判定，此类题型是常考题型，以证明三角形全等这突破口，两问的证法类似，但本题的图形较为复杂，所以要认真观察，利用平行四边形边和角的性质得出有利于三角形全等的条件，从而使问题得以解决．