题目内容
如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,
得
,解得
,
所以直线BC的解析式为y=-x+5;
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,
得
,解得
,
所以抛物线的解析式为y=x2-6x+5;
(2)设M(x,x2-6x+5)(1<x<5),则N(x,-x+5),
∵MN=(-x+5)-(x2-6x+5)=-x2+5x=-(x-
)2+
,
∴当x=
时,MN有最大值
;
(3)∵MN取得最大值时,x=2.5,
∴-x+5=-2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).
解方程x2-6x+5=0,得x=1或5,
∴A(1,0),B(5,0),
∴AB=5-1=4,
∴△ABN的面积S2=
×4×2.5=5,
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC⊥BD.
∵BC=5
,
∴BC•BD=30,
∴BD=3
.
过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.
∵BC⊥BD,∠OBC=45°,
∴∠EBD=45°,
∴△EBD为等腰直角三角形,BE=
BD=6,
∵B(5,0),
∴E(-1,0),
设直线PQ的解析式为y=-x+t,
将E(-1,0)代入,得1+t=0,解得t=-1
∴直线PQ的解析式为y=-x-1.
解方程组
,得
,
,
∴点P的坐标为P1(2,-3)(与点D重合)或P2(3,-4).
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,
得
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所以直线BC的解析式为y=-x+5;
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,
得
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所以抛物线的解析式为y=x2-6x+5;
(2)设M(x,x2-6x+5)(1<x<5),则N(x,-x+5),
∵MN=(-x+5)-(x2-6x+5)=-x2+5x=-(x-
5 |
2 |
25 |
4 |
∴当x=
5 |
2 |
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(3)∵MN取得最大值时,x=2.5,
∴-x+5=-2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).
解方程x2-6x+5=0,得x=1或5,
∴A(1,0),B(5,0),
∴AB=5-1=4,
∴△ABN的面积S2=
1 |
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∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC⊥BD.
∵BC=5
2 |
∴BC•BD=30,
∴BD=3
2 |
过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.
∵BC⊥BD,∠OBC=45°,
∴∠EBD=45°,
∴△EBD为等腰直角三角形,BE=
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∵B(5,0),
∴E(-1,0),
设直线PQ的解析式为y=-x+t,
将E(-1,0)代入,得1+t=0,解得t=-1
∴直线PQ的解析式为y=-x-1.
解方程组
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∴点P的坐标为P1(2,-3)(与点D重合)或P2(3,-4).
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