Question

如图所示，已知P是正方形ABCD外一点，且PA=3，PB=4，则PC的最大值是

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：过点B作BE⊥BP使点E在正方形ABCD的外部，且BE=PB，连接AE、PE、PC，然后求出PE=

2

PB，再求出∠ABE=∠CBP，然后利用“边角边”证明△ABE和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=PC，再根据两点之间线段最短可知点A、P、E三点共线时AE最大，也就是PC最大．

解答：解：如图，过点B作BE⊥BP，且BE=PB，连接AE、PE、PC，
则PE=

2

PB=4

2

，
∵∠ABE=∠ABP+90°，∠CBP=∠ABP+90°，
∴∠ABE=∠CBP，
在△ABE和△CBP中，

AB=BC ∠ABE=∠CBP BE=PB

，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴AE=PC，
由两点之间线段最短可知，点A、P、E三点共线时AE最大，
此时AE=AP+PE=3+4

2

，
所以，PC的最大值是3+4

2

．
故答案为：3+4

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是能巧妙利用三角形全等的知识，构造全等三角形，把求PC的长转化成求AE的长．