题目内容
如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上的点,F是AC延长线上一点,连接BF,过C作⊙O的切线CE交BF于E,且CE⊥BF.
(1)求证:AC=CF;
(2)若CF=2
,D在直径AB上,AC=AD,∠CAB=30°,CD延长线交⊙O于M,求CM的长.
(1)求证:AC=CF;
(2)若CF=2
3 |
考点:切线的性质,相似三角形的判定与性质
专题:
分析:(1)连接OC,根据切线的性质得出OC⊥CE,推出OC∥BF,根据平行线分线段成比例定理推出即可;
(2)连接BC,作直径CN,连接MN,求出∠ACD=30°,∠ACD=75°,求出∠MCN=45°,求出直径AB,得出CD长,在Rt△CMN中得出cos45°=
,求出即可.
(2)连接BC,作直径CN,连接MN,求出∠ACD=30°,∠ACD=75°,求出∠MCN=45°,求出直径AB,得出CD长,在Rt△CMN中得出cos45°=
CM |
4 |
解答:(1)证明:连接OC,
∵CE是⊙O的切线,
∴OC⊥CE,
∵CE⊥BF,
∴OC∥BF,
∵OA=OB,
∴AC=CF;
(2)解:连接BC,作直径CN,连接MN,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=CF=2
,∠CAB=30°,
∴AB=
=4,
即CD=4,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAB=30°,
∵∠CAD=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠NCM=75°-30°=45°,
∵CN是直径,
∴∠CMN=90°,
在Rt△CMN中,cos45°=
,
CM=2
.
∵CE是⊙O的切线,
∴OC⊥CE,
∵CE⊥BF,
∴OC∥BF,
∵OA=OB,
∴AC=CF;
(2)解:连接BC,作直径CN,连接MN,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=CF=2
3 |
∴AB=
AC |
cos30° |
即CD=4,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAB=30°,
∵∠CAD=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC=75°,
∴∠NCM=75°-30°=45°,
∵CN是直径,
∴∠CMN=90°,
在Rt△CMN中,cos45°=
CM |
4 |
CM=2
2 |
点评:本题考查了切线性质,平行线的判定,平行线分线段成比例定理,解直角三角形,圆周角定理,等腰三角形的性质的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中,D是AC的中点,E,F分别是BC的三等分点,AE,AF分别交BD于M,N两点,则BM:MN:ND等于( )
A、3:2:1 |
B、4:2:1 |
C、5:2:1 |
D、5:3:2 |