Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
（3）在（1）（2）条件下，若AB=BC=12，BE=4，求DE的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠CDF=∠B=90°．
在△CBE和△CDF中

BE=DF ∠B=∠CDF BC=DC

，
∴△CBE≌△CDF，
∴CE=CF；

（2）∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠DCG+∠DCF=45°
∴∠ECG=∠FCG．
在GCE和△GCF中

GC=GC ∠ECG=∠FCG CE=CF

，
∴GCE≌△GCF，
∴GE=GF．
∵GF=GD+DF，
∴GF=GD+BE，
∴GE=BE+GD；

（3）连接DE，
∵AB=BC=12，BE=4，
∴AE=8．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=4

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答：DE的长为4

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