Question

在正方形ABCD中：
（1）已知：如图①，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，求证：AE=BF．
（2）如图②，如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上，且GE⊥BF，垂足M，那么GE、BF相等吗？证明你的结论．
（3）如图③，如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上，且GE⊥HF，垂足M，那么GE、HF相等吗？证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵在△ABE和△BCF中，

∠ABC=∠C=90° ∠BAE=∠CBF AB=BC

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF；

（2）GE=BF．
证明：如图②，过点A作AN∥GE，
∵AD∥BC，
∴四边形ANEG是平行四边形，
∴AN=GE，
∵GE⊥BF，
∴AN⊥BF，
由（1）可得△ABN≌△BCF，
∴AN=BF，
∴GE=BF；

（3）GE=HF．
证明：如图③，分别过点A、B作AP∥GE，BQ∥HF，
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形，
∴AP=GE，BQ=HF，
∵GE⊥HF，
∴AP⊥BQ，
由（1）可得△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴GE=HF．