Question

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）抛物线的对称轴x=-

-5a

2a

=

5

2

；（2分）

（2）由抛物线y=ax²-5ax+4可知C（0，4），对称轴x=-

-5a

2a

=

5

2

，
∴BC=5，B（5，4），又AC=BC=5，OC=4，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AO=3，
∴A（-3，0）B（5，4）C（0，4）（5分）
把点A坐标代入y=ax²-5ax+4中，
解得a=-

1

6

，（6）
∴y=-

1

6

x²+

5

6

x+4．（7分）

（3）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，
易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

．
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P₁AB．
∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80（8分）
在Rt△ANP₁中，P₁N=

AP12-AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

，
∴P₁（

5

2

，-

199

2

）．（9分）
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P₂AB．
在Rt△BMP₂中MP₂=

B P 22 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

，（10分）
∴P₂=（

5

2

，

8- 295

2

）．（11分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，
∵∠CJF=∠AOF，∠CFJ=∠AFO，
∴∠P₃CK=∠BAQ，∠CKP₃=∠AQB，
∴Rt_△P₃CK∽Rt_△BAQ．
∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．
∵P₃K=2.5
∴CK=5于是OK=1，（13分）
∴P₃（2.5，-1）．（14分）