Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，E、F分别为边AB、DC的中点，CG // DE，交EF的延长线于点G．

（1）求证：四边形DECG是平行四边形；
（2）当ED平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形．

Answer 1

证明见解析

证明：（1）∵ F是边CD的中点，∴ DF = CF．………………（1分）
∵ CG // DE，
∴  ∠DEF =∠CGF．………………………………………（1分）
又  ∠DFE =∠CFG，
∴  △DEF≌△CGF（A．A．S）．…………………………（2分）
∴ DE = CG．………………………………………………（1分）
又 CG // DE，
∴ 四边形DECG是平行四边形．…………………………………（1分）
（2）∵ ED平分∠ADC，∴  ∠ADE =∠FDE．………………………（1分）
∵ E、F分别为边AB、DC的中点，
∴ EF // AD．
∴  ∠ADE =∠DEF．………………………………………………（1分）
∴  ∠DEF =∠EDF．即得 EF = DF = CF．
∴  ∠FEC =∠ECF．………………………………………………（1分）
即得  ∠EDC +∠DCE =∠DEC．
∵  ∠EDC +∠DCE +∠DEC = 180°，
∴  2∠DEC = 180°．
即得  ∠DEC = 90°．………………………………………………（2分）
又∵ 四边形DECG是平行四边形，
∴ 四边形DECG是矩形．…………………………………………（1分）
（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形。