Question

如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
（1）求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。

Answer 1

（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。
同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。
∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。
∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。
设AC与EH交于点M，
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。
又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。
∴四边形EFGH是正方形。
（2）解：连接EG。

在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴。
在Rt△EHG中，∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴，即四边形EFGH的面积为。

三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。
（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出 ，也即得出了正方形EHGF的面积。