Question

如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E， 延长BC到点F，使FC
＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论
的个数为（    ） 
①OH＝BF； ②∠CHF＝45°； ③GH＝BC；④DH2＝HE·HB
A. 1个        B. 2个        C. 3个         D. 4个

Answer 1

C

作EJ⊥BD于J，连接EF

①∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22.5°∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF，OH是△DBF的中位线∴OH∥BF∴OH=BF
②∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF，∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，∵OH是△DBF的中位线，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分线，∴DH=CH，∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正确；
③∵OH是△BFD的中位线，∴DG=CG=BC，GH=CF，∵CE=CF，∴GH=CF=CE
∵CE＜CG=BC，∴GH＜BC，故此结论不成立；
④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分线，∴∠DBH=22.5°，由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，∵∠BHD=∠BHD，∴△DHE∽△BHD，∴∴DH=HE•HB，故④成立；
所以①②④正确．故选C．