题目内容
【题目】已知如图,在直角坐标系xOy中,点A,点B坐标分别为(﹣1,0),(0, ),连结AB,OD由△AOB绕O点顺时针旋转60°而得.
(1)求点C的坐标;
(2)△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积;
(3)线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积.
【答案】
(1)解:如图1,过C作CE⊥OA于E,
∵点A,点B坐标分别为(﹣1,0),(0, ),
∴OA=1,OB= ,
∵△AOB绕点O顺时针旋转60°得到△COD,
∴∠AOC=∠BOD=60°,AO=OC=1,
∴OE= OC=
,CE=
OC=
,
∴C(﹣ ,
)
(2)解:△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积= +
+
×
=
π+
(3)解:如图2,
线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═( ﹣1×
)+(
)+
(
﹣
)=
.
【解析】(1)根据题意可作辅助线,过C作CE⊥OA于E,由旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=60°,AO=OC=1,再由直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得OE的长,在直角三角形CEO中,用锐角三角函数可求CE的长,根据点C在第二象限可写出点C的坐标。
(2)由题意结合图形可得,△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积=扇形AOC的面积+扇形BOD的面积+三角形BOC的面积。
(3)由题意结合图形可得,线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═扇形AOC的面积-三角形AOC的面积+扇形BOD的面积-三角形DOM的面积+三角形BCM的面积。扇形面积=n360.
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