题目内容

【题目】阅读材料

如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB,EF的中点均为O,连结BF,CD、CO,显然点C,F,O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD.
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;

(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB,EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出 的值(用含α的式子表示出来)

【答案】
(1)

解:猜想:BF=CD.理由如下:

如答图②所示,连接OC、OD.

∵△ABC为等腰直角三角形,点O为斜边AB的中点,

∴OB=OC,∠BOC=90°.

∵△DEF为等腰直角三角形,点O为斜边EF的中点,

∴OF=OD,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

∴∠BOF=∠COD.

∵在△BOF与△COD中,

∴△BOF≌△COD(SAS),

∴BF=CD


(2)

解:答:(1)中的结论不成立.

如答图③所示,连接OC、OD.

∵△ABC为等边三角形,点O为边AB的中点,

=tan30°= ,∠BOC=90°.

∵△DEF为等边三角形,点O为边EF的中点,

=tan30°= ,∠DOF=90°.

= =

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF与△COD中,

= = ,∠BOF=∠COD,

∴△BOF∽△COD,

=


(3)

解:如答图④所示,连接OC、OD.

∵△ABC为等腰三角形,点O为底边AB的中点,

=tan ,∠BOC=90°.

∵△DEF为等腰三角形,点O为底边EF的中点,

=tan ,∠DOF=90°.

= =tan

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF与△COD中,

= =tan ,∠BOF=∠COD,

∴△BOF∽△COD,

=tan


【解析】(1)如答图②所示,连接OC、OD,证明△BOF≌△COD;(2)如答图③所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,相似比为 ;(3)如答图④所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,相似比为tan

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