Question

【题目】如图1，AB为⊙O的直径，点C，G都在⊙O上， = ，过点C作AB的垂线，垂足为D，连接BC，AC，BG，BG与AC相交于点E．

（1）求证：BG=2CD；
（2）若⊙O的直径为5 ，BC=5，求CE的长；
（3）如图2，在（2）条件下，延长CD，ED，分别与⊙O相交于点M，N，连接MN，求MN的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

如图，延长CD交⊙O于点F，

∵CD⊥AB，

∴ ，CF=2CD，

∵ = ，

∴ = ，

∴ ，

∴BG=CF，

∵CF=2CD

∴BG=2CD

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=5 ，BC=5，

∴AC= =10，

∵ = ，

∴∠CBG=∠BAC，

∵∠BCE=∠ACB，

∴△BCE∽△ACB，

∴ ，

∴ ，

∴CE=2.5

（3）过点E作EI⊥AB于点I，过点N作NH⊥AB于点H，作NF⊥CM于点F，

连接ON，

易证△BCD∽△CAB，

∴BC2=BDAB，

∴BD= ，

∴AD=5 ﹣ =4 ，

由（2）可知：CE= ，

∴AE=10﹣ = ，

∵EI∥CD，

∴△AEI∽△ACD，

∴ ，

∴AI=3 ，

∴DI=AD﹣AI=

∵EI∥HN，

∴△EID∽△NHD，

∴ ，

∴ = ，

设NH=3x，DH=2x，

∵OD=OB﹣BD= ，

∴OH=OD+DH= +2x，

在Rt△OHN中，

由勾股定理可得：（ ）2=（ +2x）2+（3x）2，

∴13x2+6 x﹣20=0，

x= ，

∵x＞0，

∴x=

由勾股定理可知：CD=2 ，

∴DM=CD=2 ，

∴MF=2 ﹣3x，NF=DH=2x，

∴由勾股定理可求得：MN2=MF2+DH2，

∴MN2=20﹣12 x+13x2=40﹣18 x= ，

∴MN=

【解析】（1）如图1，延长CD交⊙O于点F，由垂径定理可知，2CD=CF，所以只需要证明BG=CF即可；（2）由勾股定理可求得AC=10，再利用 ，可知∠CBG=∠BAC，所以可证明△BCE∽△ACB，然后利用对应边的比相等即可求出CE；（3）过点E作EI⊥AB于点I，过点N作NH⊥AB于点H，作NF⊥CM于点F，连接ON，利用相似三角形的性质和勾股定理分别求出BD、EI、ID的长度，并求出 的比值，利用勾股定理求出NH、DH的长度，进而求出MN的长度．