题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+4分别交x轴,y轴于点A,C,点D(m,2)在直线AC上,点B在x轴正半轴上,且OB=3OC.点E是y轴上任意一点记点E为(0,n).
(1)求点D的坐标及直线BC的解析式;
(2)连结DE,将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG,作正方形DEFG,是否存在n的值,使正方形的顶点F落在△ABC的边上?若存在,求出所有满足条件的n的值;若不存在,说明理由.
(3)作点E关于AC的对称点E’,当n为何值时,A E’分别于AC,BC,AB垂直?
【答案】
(1)
解:由直线y=2x+4,
当x=0时,y=4,则C(0,4);
当y=0时,x=-2,则A(-2,0);
∵D(m,2)在直线y=2x+4上,则2x+4=2,即D(-1,2);
∵C(0,4),OB=3OC.
∴OB=3×4=12,
则B(12,0).
设BC的解析式为y=kx+b,
则
解得
则直线BC的解析式为y=x+4.
(2)
解:过点D作y轴的垂线DM交y轴于点M,过点F作y轴的垂线FN交y轴于点N,
则∠DME=∠FNE=90°,∠DEM+∠EDM=90°,
在正方形DEFG中,
则DE=EF,∠DEF=90°,
∴∠DEM+∠FEN=90°,
∴∠EDM=∠FEN,
∴△DME≌△ENF,
∴FN=EM=|n-2|,EN=DM=1,
则ON=OE-EN=|n-1|,
则F(|n-2|,|n-1|)
当点F在BC上时,F(n-2,n-1),将它代入直线BC的解析式y=x+4,
得(n-2)+4=n-1,解得n=
;
当点F在AB上时,即n-1=0,则n=1;
综上n=或1.
(3)
解:①当AE’⊥AC时,A,E,E'三点共线,如图2,则AE⊥AC,
易证得△ACE~△OCA,
则
由AC==
=2
.
则CE==5,
即n=4-5=-1.
②当AE’⊥AB时,设EE'与AC的交点为P,如图3,可得△AE'P≌△CEP,
则AE=AE'=CE=4-n,
在Rt△AEO中,则AE2=AO2+OE2,
即(4-n)2=22+n2,
解得n=
③如图3,当AE'与BC垂直时,直线AE’与BC的延长线交于点M,与y轴交于点Q,
则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3,
所以OQ=3OA=6,则Q(0,6),
由A(-2,0)和Q(0,6)得直线AQ的解析式为y=3x+6.
因为直线AC的解析式为y=2x+4,AC与EE'垂直,
所以可设EE'的解析式为y=-x+c,
将E(0,n)代入可解得y=-x+n.
联立
解得
即E'(,
),
则EE'的中点P的坐标为(,
),
因为点P在直线AC上,代入y=2x+4可得
+4=
,
解得n=.
综上n=-1,或
.
;
解:①当AE’⊥AC时,A,E,E'三点共线,如图2,则AE⊥AC,
易证得△ACE~△OCA,
则
由AC==
=2
.
则CE==5,
即n=4-5=-1.
②当AE’⊥AB时,设EE'与AC的交点为P,如图3,可得△AE'P≌△CEP,
则AE=AE'=CE=4-n,
在Rt△AEO中,则AE2=AO2+OE2,
即(4-n)2=22+n2,
解得n=
③如图3,当AE'与BC垂直时,直线AE’与BC的延长线交于点M,与y轴交于点Q,
则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3,
所以OQ=3OA=6,则Q(0,6),
由A(-2,0)和Q(0,6)得直线AQ的解析式为y=3x+6.
因为直线AC的解析式为y=2x+4,AC与EE'垂直,
所以可设EE'的解析式为y=-x+c,
将E(0,n)代入可解得y=-x+n.
联立
解得
即E'(,
),
则EE'的中点P的坐标为(,
),
因为点P在直线AC上,代入y=2x+4可得
+4=
,
解得n=.
综上n=-1,或
.
;
解:①当AE’⊥AC时,A,E,E'三点共线,如图2,则AE⊥AC,
易证得△ACE~△OCA,
则
由AC==
=2
.
则CE==5,
即n=4-5=-1.
②当AE’⊥AB时,设EE'与AC的交点为P,如图3,可得△AE'P≌△CEP,
则AE=AE'=CE=4-n,
在Rt△AEO中,则AE2=AO2+OE2,
即(4-n)2=22+n2,
解得n=
③如图3,当AE'与BC垂直时,直线AE’与BC的延长线交于点M,与y轴交于点Q,
则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3,
所以OQ=3OA=6,则Q(0,6),
由A(-2,0)和Q(0,6)得直线AQ的解析式为y=3x+6.
因为直线AC的解析式为y=2x+4,AC与EE'垂直,
所以可设EE'的解析式为y=-x+c,
将E(0,n)代入可解得y=-x+n.
联立
解得
即E'(,
),
则EE'的中点P的坐标为(,
),
因为点P在直线AC上,代入y=2x+4可得
+4=
,
解得n=.
综上n=-1,或
.
【解析】(1)将点D(m,2)代入直线AC的解析式可求出m;由直线AC的解析式可得点C的坐标,由OB=3OC,求出点B的坐标,运用待定系数法求BC的解析式;
(2)由正方形的性质构造全等三角形,用n表示出点F的坐标,再分类讨论点F在BC上和在AB上时n的值;
(3)分三种情况讨论:EE'⊥AC,EE'⊥AB,EE'⊥BC.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
【题目】嘉兴教育学院大学生小王利用暑假开展了30天的社会实践活动,参与了嘉兴浙北超市的经营,了解到某成本为15元/件的商品在x天销售的相关信息,如表表示:
销售量p(件) | P=45﹣x |
销售单价q(元/件) | 当1≤x≤18时,q=20+x |
设该超市在第x天销售这种商品获得的利润为y元.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)在这30天中,该超市销售这种商品第几天的利润最大?最大利润是多少?