Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4分别交x轴，y轴于点A，C，点D（m，2）在直线AC上，点B在x轴正半轴上，且OB=3OC．点E是y轴上任意一点记点E为（0，n）．

（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；
（2）连结DE，将线段DE绕点D按顺时针旋转90°得线段DG，作正方形DEFG，是否存在n的值，使正方形的顶点F落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的n的值；若不存在，说明理由．
（3）作点E关于AC的对称点E’，当n为何值时，A E’分别于AC，BC，AB垂直？

Answer 1

【答案】
（1）

解：由直线y=2x+4，

当x=0时，y=4，则C（0,4）；

当y=0时，x=-2,则A（-2,0）；

∵D（m,2）在直线y=2x+4上，则2x+4=2，即D（-1,2）；

∵C（0，4），OB=3OC．

∴OB=3×4=12，

则B（12,0）.

设BC的解析式为y=kx+b，

则

解得

则直线BC的解析式为y=x+4.

（2）

解：过点D作y轴的垂线DM交y轴于点M，过点F作y轴的垂线FN交y轴于点N，

则∠DME=∠FNE=90°，∠DEM+∠EDM=90°，

在正方形DEFG中，

则DE=EF，∠DEF=90°，

∴∠DEM+∠FEN=90°，

∴∠EDM=∠FEN，

∴△DME≌△ENF,

∴FN=EM=|n-2|，EN=DM=1，

则ON=OE-EN=|n-1|，

则F（|n-2|，|n-1|）

当点F在BC上时，F（n-2,n-1），将它代入直线BC的解析式y=x+4，

得(n-2)+4=n-1，解得n=；

当点F在AB上时，即n-1=0，则n=1；

综上n=或1.

（3）

解：①当AE’⊥AC时，A，E，E'三点共线，如图2，则AE⊥AC，

易证得△ACE~△OCA，

则

由AC===2.

则CE==5，

即n=4-5=-1.

②当AE’⊥AB时，设EE'与AC的交点为P，如图3，可得△AE'P≌△CEP，

则AE=AE'=CE=4-n，

在Rt△AEO中，则AE2=AO2+OE2，

即（4-n）2=22+n2，

解得n=

③如图3，当AE'与BC垂直时，直线AE’与BC的延长线交于点M，与y轴交于点Q，

则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，

所以OQ=3OA=6，则Q（0,6），

由A（-2,0）和Q（0,6）得直线AQ的解析式为y=3x+6.

因为直线AC的解析式为y=2x+4，AC与EE'垂直，

所以可设EE'的解析式为y=-x+c，

将E（0，n）代入可解得y=-x+n.

联立

解得

即E'（,)，

则EE'的中点P的坐标为（，），

因为点P在直线AC上，代入y=2x+4可得

+4=，

解得n=.

综上n=-1，或.

；

解：①当AE’⊥AC时，A，E，E'三点共线，如图2，则AE⊥AC，

易证得△ACE~△OCA，

则

由AC===2.

则CE==5，

即n=4-5=-1.

②当AE’⊥AB时，设EE'与AC的交点为P，如图3，可得△AE'P≌△CEP，

则AE=AE'=CE=4-n，

在Rt△AEO中，则AE2=AO2+OE2，

即（4-n）2=22+n2，

解得n=

③如图3，当AE'与BC垂直时，直线AE’与BC的延长线交于点M，与y轴交于点Q，

则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，

所以OQ=3OA=6，则Q（0,6），

由A（-2,0）和Q（0,6）得直线AQ的解析式为y=3x+6.

因为直线AC的解析式为y=2x+4，AC与EE'垂直，

所以可设EE'的解析式为y=-x+c，

将E（0，n）代入可解得y=-x+n.

联立

解得

即E'（,)，

则EE'的中点P的坐标为（，），

因为点P在直线AC上，代入y=2x+4可得

+4=，

解得n=.

综上n=-1，或.

；

解：①当AE’⊥AC时，A，E，E'三点共线，如图2，则AE⊥AC，

易证得△ACE~△OCA，

则

由AC===2.

则CE==5，

即n=4-5=-1.

②当AE’⊥AB时，设EE'与AC的交点为P，如图3，可得△AE'P≌△CEP，

则AE=AE'=CE=4-n，

在Rt△AEO中，则AE2=AO2+OE2，

即（4-n）2=22+n2，

解得n=

③如图3，当AE'与BC垂直时，直线AE’与BC的延长线交于点M，与y轴交于点Q，

则tan∠OAQ=tan∠MCQ=tan∠BCO==3，

所以OQ=3OA=6，则Q（0,6），

由A（-2,0）和Q（0,6）得直线AQ的解析式为y=3x+6.

因为直线AC的解析式为y=2x+4，AC与EE'垂直，

所以可设EE'的解析式为y=-x+c，

将E（0，n）代入可解得y=-x+n.

联立

解得

即E'（,)，

则EE'的中点P的坐标为（，），

因为点P在直线AC上，代入y=2x+4可得

+4=，

解得n=.

综上n=-1，或.

【解析】（1）将点D（m,2）代入直线AC的解析式可求出m；由直线AC的解析式可得点C的坐标，由OB=3OC，求出点B的坐标，运用待定系数法求BC的解析式；
（2）由正方形的性质构造全等三角形，用n表示出点F的坐标，再分类讨论点F在BC上和在AB上时n的值；
（3）分三种情况讨论：EE'⊥AC，EE'⊥AB，EE'⊥BC.