Question

【题目】嘉兴教育学院大学生小王利用暑假开展了30天的社会实践活动，参与了嘉兴浙北超市的经营，了解到某成本为15元/件的商品在x天销售的相关信息，如表表示：

销售量p（件）	P=45﹣x
销售单价q（元/件）	当1≤x≤18时，q=20+x 当18＜x≤30时，q=38

设该超市在第x天销售这种商品获得的利润为y元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）在这30天中，该超市销售这种商品第几天的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：①当1≤x≤18时，y=（20+x﹣15）（45﹣x）=（5+x）（45﹣x）=﹣x2+40x+225；

②当18＜x≤30时，y=（38﹣15）（45﹣x）=23（45﹣x）=﹣23x+1035.

则

（2）

①当1≤x≤18时，y=﹣（x﹣20）2+625，

∴当x=18时，y最大值=621元．

②当18＜x≤30时，

∵﹣30＜0，

∴y随x的增大而减小，

又∵x取正整数，

∴当x=19时，y最大值=598（元）．

∵621＞598，

∴在这30天中，该超市销售这种商品，第18天的利润最大，且最大利润为621元．

【解析】（1）总利润=单件利润×销售量；分类讨论当1≤x≤18时，当18＜x≤30时；
（2）根据二次函数和一次函数的增减性质求所有范围内的最大值，再对比.