题目内容

【题目】如图1,正方形ABCD的对角线ACBD相交于点OEAC上一点,连接EB,过点AAMBE,垂足为MAMBD相交于F.

(1)直接写出线段OEOF的数量关系;

(2)如图2,若点EAC的延长线上,过点AAMBE ,AMDB的延长线于点F,其他条件不变.问(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,说明理由;

(3)如图3,当BC=CE时,求∠EAF的度数.

【答案】(1) OE=OF; (2) OE=OF仍然成立,理由见解析;(3)67.5°.

【解析】(1)根据正方形的性质利用ASA判定AOF≌△BOE,根据全等三角形的对应边相等得到OE=OF

(2)类比(1)的方法证得同理得出结论成立

(3)BC=CE可证AB=BF从而F=∠FAB=ABD=22.5°,然后根据EAF=∠FAB+∠BAO计算即可.

1OE=OF;

2OE=OF仍然成立,理由是:

由正方形ABCD对角线垂直得,∠BOC=90°,

∵AM⊥BE ∴∠BMF=90°,

∴∠BOC=∠BMF.

∵∠MBF=∠OBE,

∴∠F=∠E,

又∵AO=BO,

∴△AOF≌△BOE,

OE=OF;

3)由(2)得OE=OF,且OB=OC,则BF=CE,

BC=CE,

AB=BF,

∴∠F=∠FAB=∠ABD=22.5°,

又∵∠BAO=45°,

∴∠EAF=∠FAB+∠BAO=22.5°+45°=67.5°.

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