Question

矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，且∠ADB=30°，∠ADC的平分线交BC于E，连接OE．
（1）求∠COE的度数．
（2）若AB=4，求OE的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠CED=45°；
∴EC=DC，
又∵∠ADB=30°，
∴∠CDO=60°；
又∵因为矩形的对角线互相平分，
∴OD=OC；
∴△OCD是等边三角形；
∴∠DCO=60°，∠OCB=90°-∠DCO=30°；
∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，
∠CDE=∠CED=45°，
∴CD=CE=CO，
∴∠COE=∠CEO；
∴∠COE=（180°-30°）÷2=75°；

（2）过O作OF⊥BC于F，
∵AO=CO，
∴BF=CF，
∴OF=

1

2

AB=2，
∵∠ADB=30°，AB=4，
∴AC=8，
∴BC=

48

=4

3

，
∴BF=CF=2

3

，
∵CD=CE=4，
∴EF=CE-CF=4-2

3

，
在Rt△OFE中，
OE=

OF2+EF2

=4

2- 3

．