题目内容
【题目】如图，一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，过A、C两点的抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于另一点B抛物线顶点为E，连接AE．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点E坐标；
（2）点P是线段AE上的一动点，过点P作PF平行于y轴交AC于点B连接EF，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）若点M为坐标轴上一点，点N为平面内任意一点，是否存在这样的点，使A、E、M、N为顶点的四边形是以AE为对角线的矩形？如果存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x+3，顶点E（-1，4）；（2）当x=-2时，S△PEF有最大值为
，点P（-2，2）；（3）点N坐标为：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．
【解析】
（1）一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（-3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）S△PEF=
PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），即可求解；
（3）分点M（m，0）在x轴上、点M在y轴上两种情况分别求解．
（1）一次函数y=x+3与坐标轴交于A、C两点，则点A、C的坐标为（-3，0）、（0，3），
将点A、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：
，
故抛物线的表达式为：y=x2-2x+3，
顶点E（-1，4）；
（2）将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AE的表达式为：y=2x+6，
设点P（x，2x+6），则点F（x，x+3），
S△PEF=PF×（xE-x）=×（2x+6-x-3）（-1-x）=-（x+3）（x+1），
当x=-2时，S△PEF有最大值为，
此时点P（-2，2）；
（3）点A、E的坐标分别为（-3，0）、（-1，4），AE2=20，
①当点M（m，0）在x轴上时，
设点N（s，t），
则AE=MN，且AE中点坐标为MN中点坐标，
即：
，解得：
，
故点N（-3，4）或（-1，4）；
②当点M在y轴上时，
同理可得：点N（1，-4）或（3，-4）；
综上，点N坐标为：N（-3，4）或（-1，4）或（1，-4）或（3，-4）．
