题目内容

【题目】如图,已知等边三角形的顶点分别在反比例函数图像的两个分支上,点在反比例函数的图像上,当的面积最小时,的值__________

【答案】-3

【解析】

当等边三角形ABC的边长最小时,△ABC的面积最小,点AB分别在反比例函数y=图象的两个分支上,则当AB在直线y=x上时最短,即此时△ABC的面积最小,根据反比例函数图象的对称性可得OA=OB,设OA=x,则AC=2xOC=x,根据等边三角形三线合一可证明△AOE∽△OCF,根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论.

解:根据题意当AB在直线y=x上时,△ABC的面积最小,

函数y=图象关于原点对称,

OA=OB

连接OC,过AAEy轴于E,过CCFy轴于F

∵△ABC是等边三角形,

AOOC

∴∠AOC=90°,∠ACO=30°

∴∠AOE+COF=90°

OA=x,则AC=2xOC=x

AEy轴,CFy轴,

∴∠AEO=OFC=AOE+OAE=90°

∴∠COF=OAE

∴△AOE∽△OCF

∵顶点A在函数y=图象的分支上,

SAOE=

SOCF=

∵点C在反比例函数y=k≠0)的图象上,

k=-3

故答案为-3

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