题目内容
【题目】如图,已知等边三角形的顶点分别在反比例函数图像的两个分支上,点在反比例函数的图像上,当的面积最小时,的值__________.
【答案】-3
【解析】
当等边三角形ABC的边长最小时,△ABC的面积最小,点A,B分别在反比例函数y=图象的两个分支上,则当A、B在直线y=x上时最短,即此时△ABC的面积最小,根据反比例函数图象的对称性可得OA=OB,设OA=x,则AC=2x,OC=x,根据等边三角形三线合一可证明△AOE∽△OCF,根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论.
解:根据题意当A、B在直线y=x上时,△ABC的面积最小,
函数y=图象关于原点对称,
∴OA=OB,
连接OC,过A作AE⊥y轴于E,过C作CF⊥y轴于F,
∵△ABC是等边三角形,
∴AO⊥OC,
∴∠AOC=90°,∠ACO=30°,
∴∠AOE+∠COF=90°,
设OA=x,则AC=2x,OC=x,
∵AE⊥y轴,CF⊥y轴,
∴∠AEO=∠OFC=∠AOE+∠OAE=90°,
∴∠COF=∠OAE,
∴△AOE∽△OCF,
∴,
∵顶点A在函数y=图象的分支上,
∴S△AOE=,
∴S△OCF=,
∵点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上,
∴k=-3,
故答案为-3.
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