题目内容

【题目】如图,已知直线l:y=﹣x,双曲线y= ,在l上取一点A(a,﹣a)(a>0),过A作x轴的垂线交双曲线于点B,过B作y轴的垂线交l于点C,过C作x轴的垂线交双曲线于点D,过D作y轴的垂线交l于点E,此时E与A重合,并得到一个正方形ABCD,若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1:2的两条线段,则a的值为

【答案】
【解析】解:依照题意画出图形,如图所示.
∵点A的坐标为(a,﹣a)(a>0),
∴点B(a, )、点C(﹣ )、点D(﹣ ,﹣a),
∴OA= = a,OC= =
又∵原点O分对角线AC为1:2的两条线段,
∴OA=2OC或OC=2OA,
a=2× =2 a,
解得:a1= ,a2=﹣ (舍去),a3= ,a4=﹣ (舍去).
故答案为:
根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标,由两点间的距离公式表示出线段OA、OC的长,再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程,解方程即可得出结论.

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