Question

【题目】如图，在△ABC中，已知CA=CB=5，BA=6，点E是线段AB上的动点（不与端点重合），点F是线段AC上的动点，连接CE、EF，若在点E、点F的运动过程中，始终保证∠CEF=∠B．
（1）求证：∠AEF=∠BCE；
（2）当以点C为圆心，以CF为半径的圆与AB相切时，求BE的长；
（3）探究：在点E、F的运动过程中，△CEF可能为等腰三角形吗？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠B+∠BCE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，

∵∠CEF=∠B，

∴∠AEF=∠BCE

（2）解：如图1，

设⊙C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA，

∵CA=CB，CM⊥BA∴BM=AM= =3，

Rt△AMC中，AC=5，AM=3，

∴CF=CM=4，

∴AF=1，

∵CA=CB∴∠B=∠C

由（1）知∠AEF=∠BCE

∴△AEF∽△BCE，

∴ ，

设BE长为x，则EA长为6﹣x

∴ ，

解得：x1=1，x2=5，

答：BE的长为1或5

（3）可能．如图2，

①当CE=CF时，∠3=∠2=∠A，

∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．

②当CF=EF时，

又∵△AEF∽△BCE，

∴△AEF≌△BCE，

∴AE=BC=5，

∴BE=AB﹣5=1，

③当CF=EF时，∠1=∠2=∠A=∠B，

△FCE∽△CBA，

∴ ，

∴ = = ，

∵△AEF∽△BCE

∴ = =

∴EA= BC= ×5= ，

∴EB=AB﹣ = ．

答：当BE的长为1或 时，△CFE为等腰三角形．

【解析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）设⊙C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA，根据垂径定理得到BM=AM= =3，根据勾股定理得到CF=CM=4，根据相似三角形的性质得到 ，设BE长为x，则EA长为6﹣x即可得到结论；（3）①当CE=CF时推出EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当CF=EF时，根据全等三角形的性质得到BE=AB﹣5=1，③当CF=EF时，根据相似三角形的性质即可得到结论．