题目内容

【题目】已知,等边三角形ABC的边长为5,点P在线段AB上,点D在线段BC上,且△PDE是等边三角形.
(1)初步尝试:若点P与点A重合时(如图1),BD+BE=

(2)类比探究:将点P沿AB方向移动,使AP=1,其余条件不变(如图2),试计算BD+BE的值是多少?

(3)拓展迁移:如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,点P在线段AB的延长线上,点D在线段CB的延长线上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=70°,设BP=a,请直接写出线段BD、BE之间的数量关系(用含a的式子表示)

【答案】
(1)5
(2)解:如图2,过点P作PF∥AC交BC于F,

∴△FPB是等边三角形,

∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4,∠BPF=60°,

∵△PDE是等边三角形,

∴PD=PE,∠DPE=60°,

∴∠BPE=∠FPD,

∴△PBE≌△PFD,

∴BE=DF,

∴BD+BE=BD+DF=BF=4;


(3)解:如图3,

过点P作PF∥AC交BC于F,

∴∠BPF=∠BAC=70°,∠PFB=∠C,

∵AB=AC,∠BAC=70°,

∴∠ABC=∠C=55°,

∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°,

∴PF=PB=a,

∵∠BPF=∠DPE=70°,

∴∠DPF=∠EPB,

∵PD=PE,

∴△PBE≌△PFD,

∴BE=DF,

过点P作PG⊥BC于G,

∴BF=2BG,

在Rt△BPG中,∠PBD=55°,

∴BG=BPcos∠PBD=acos55°,

∴BF=2BG=2acos55°,

∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2acos55°.


【解析】解:(1)∵△ABC和△PDE是等边三角形,

∴PE=PD,AB=AC,∠DPE=∠CAB=60°,

∴∠BPE=∠CAD,

∴△PBE≌△ACD,

∴BE=CD,

∴BD+BE=BD+CD=BC=5,

所以答案是5;

【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识,掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等,以及对等边三角形的性质的理解,了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.

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