Question

【题目】如图，已知抛物线y＝－与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－3，0）.

（1）求b的值及点B的坐标；

（2）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度向点C运动（当点P运动到点B时，点Q随之停止运动），设运动时间为t秒，当t为何值时，△PBQ与△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1），B的坐标为（1，0）；（2）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3）当t＝1秒或秒时，△PBQ与△ABC相似

【解析】

（1）将点A的坐标代入中可解得b的值，由此可得抛物线的解析式，在所得解析式中令y=0得到关于x的方程，解方程即可求得点B的坐标；

（2）由（1）中所得抛物线的解析式可求得点C的坐标，结合点A、B的坐标可求得OA、OB、OC和AB的长度，这样由勾股定理可求得AC和BC的长，再证AB2=AC2+BC2可得△ABC是直角三角形；

（3）由题意用含t的代数式表达出BP和BQ的长度，结合∠ABC是公共角，∠ACB=90°，分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况进行讨论即可求得△PBQ与△ABC相似时对应的t的值.

（1）将点A（－3，0）代入抛物线可得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：，

令y＝0，得，解得x1＝-3， x2=1，

∴点B的坐标为：（1，0）；

（2）△ABC是直角三角形，理由如下：

对于抛物线，令x＝0，得y＝，

∴点C的坐标为（0，），

∴OC=，OA=3，OB=1，AB=4，

∴在Rt△AOC中，由勾股定理可得AC=，在Rt△COB中，由勾股定理可得BC=2，

∴AC2+BC2=12+4=16=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）由题意可得：AP＝2t，BP＝4－2t，BQ＝t，CQ＝2－t，

∵在△ABC和△PBQ中，∠ABC和∠PBQ是公共角，∠ACB=90°，

∴若△PBQ与△ABC相似，则∠PQB＝90°或∠QPB＝90°，

①当∠PQB＝90°时，易得AC∥PQ，则△PQB~△ACB，

∴ ，即，解得t＝1；

②当∠QPB＝90°，则△QPB~△ACB，

∴ ，即，解得；

综上所述：当t＝1秒或秒时，△PBQ与△ABC相似.