Question

已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OE、OF相等，且OB=OC．
（1）如图，若点O在边BC上，求证：AB=AC；

（2）如图，若点O在△ABC的内部，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）若点O在△ABC的外部，则（1）的结论还成立吗？请画图表示．

Answer 1

（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）成立．
证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，
则∠BEO=∠CFO=90°，
∵在Rt△OBE和Rt△OCF中

OB=OC OE=OF

，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）不一定成立，如右图．