Question

【题目】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B,

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．

（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．

（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．

Answer 1

【答案】（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）5.

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．

（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可

解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．

（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：

∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，

又∵∠EDF=∠B，

∴∠BFD=∠CDE．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴△BDF∽△CED．

∴．

∵BD=CD，

∴，即．

又∵∠C=∠EDF，

∴△CED∽△DEF．

∴△BDF∽△CED∽△DEF．

（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=BC=6．

在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，

∴AD=8．

∴S△ABC=BCAD=×12×8=48，

S△DEF=S△ABC=×48=12．

又∵ADBD=ABDH，

∴．

∵△BDF∽△DEF，

∴∠DFB=∠EFD．

∵DH⊥BF，DG⊥EF，

∴∠DHF=∠DGF．

又∵DF=DF，

∴△DHF≌△DGF（AAS）．

∴DH=DG=．

∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，

∴EF=5．