题目内容
在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处,将此三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别交射线AC、CB与点D、点E,图①,②,③是旋转得到的三种图形。
(1)观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系,并以图②为例,加以说明;
(2)△PBE是否构成等腰三角形?若能,指出所有的情况(即求出△PBE为等腰三角形时CE的长,直接写出结果);若不能请说明理由。
(1)观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系,并以图②为例,加以说明;
(2)△PBE是否构成等腰三角形?若能,指出所有的情况(即求出△PBE为等腰三角形时CE的长,直接写出结果);若不能请说明理由。
解:1)PD=PE。以图②为例,连PC
∵△ABC是等腰直角三角形,P为斜边AB的中点,
∴PC=PB,CP⊥AB,∠DCP=∠B=45°, …………………………………… 1分
又∵∠DPC+∠CPE=90°,∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB………………………1分
∴△DPC≌△EPB(AAS)………………………1分
∴PD=PE…………………………………1分
2)能,①当EP=EB时,CE=…………………………………1分
②当EP=PB时,点E 在BC上,则点E和C重合,CE=0………1分
③当BE=BP时,若点E在BC上,则CE=……………1分
若点E在CB的延长线上,则CE=………1分
∵△ABC是等腰直角三角形,P为斜边AB的中点,
∴PC=PB,CP⊥AB,∠DCP=∠B=45°, …………………………………… 1分
又∵∠DPC+∠CPE=90°,∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB………………………1分
∴△DPC≌△EPB(AAS)………………………1分
∴PD=PE…………………………………1分
2)能,①当EP=EB时,CE=…………………………………1分
②当EP=PB时,点E 在BC上,则点E和C重合,CE=0………1分
③当BE=BP时,若点E在BC上,则CE=……………1分
若点E在CB的延长线上,则CE=………1分
(1)连接PC,通过证明△PCD≌△PBE,得出PD=PE.
(2)分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明.
(2)分为点C与点E重合、CE=、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明.
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