题目内容
【题目】(11分)如图,四边形ABCD为菱形,点E为对角线AC上的一个动点,连结DE并延长交AB于点F,连结BE.
(1)如图①,求证:∠AFD=∠EBC;
(2)如图②,若DE=EC且BE⊥AF,求∠DAB的度数;
(3)若∠DAB=90°且当△BEF为等腰三角形时,求∠EFB的度数(只写出条件与对应的结果)
【答案】(1)证明见试题解析;(2)60°;(3)30°或120°.
【解析】
试题(1)利用“SAS”得出△DCE≌△BCE,即可得出答案;
(2)利用等腰三角形的性质结合垂直的定义得出∠DAB的度数;
(3)分两种情况讨论:①当F在AB延长线上时,②当F在线段AB上时,分别求出即可.
试题解析:(1)∵四边形ABCD为菱形,∴DC=CB,在△DCE和△BCE中,∵DC=CB,∠DCE=∠BCE,EC=EC,∴△DCE≌△BCE(SAS),∴∠EDC=∠EBC,∵DC∥AB,∴∠EDC=∠AFD,∴∠AFD=∠EBC;
(2)∵DE=EC,∴∠EDC=∠ECD,设∠EDC=∠ECD=∠CBE=x°,则∠CBF=2x°,由BE⊥AF得:2x+x=90°,解得:x=30°,∴∠DAB=∠CBF=60°;
(3)分两种情况:①如图1,当F在AB延长线上时,
∵∠EBF为钝角,∴只能是BE=BF,设∠BEF=∠BFE=x°,则:90+x+x+x=180,解得:x=30,∴∠EFB=30°;
②如图2,当F在线段AB上时,
∵∠EFB为钝角,∴只能是FE=FB,设∠BEF=∠EBF=x°,则有∠AFD=2x°,可证得:∠AFD=∠FDC=∠CBE,得x+2x=90,解得:x=30,∴∠EFB=120°,
综上所述:∠EFB=30°或120°.
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