Question

【题目】两块等腰直角三角形纸片AOB和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，其中AB=3，CD=6．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，tanα的值等于（ ）

A. B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

当BD与CD在同一直线上时，根据三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋转可得∠AOC＝∠DOB，证明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝．再根据∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC证明∠ABC＝α，进而求出α的正切值．

解：当BD与CD在同一直线上（如图3）时，
∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，

由旋转可知：
∠AOC＝∠DOB=α，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，

∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°

∴∠ACB=90°

在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，
∴BC＝CD＋BD＝6＋x，
∵AB=3，
∴根据勾股定理，得x2＋（6＋x）2＝（3）2，
解得x＝3或x＝9（舍去）．
∴AC＝3，BC＝9，
∴tan∠ABC＝＝．
三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴∠CDO＝∠ABO＝45°，
∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，
∴∠ABC＝∠DOB，
由旋转可知：
∠AOC＝∠DOB＝α，
∴∠ABC＝α，

∴tanα＝．

故选：C