Question

【题目】如果的两个端点分别在的两边上(不与点重合)，并且除端点外的所有点都在的内部，则称是的“连角弧”．

(1)图1中，是直角，是以为圆心，半径为1的“连角弧”．

①图中的长是______，并在图中再作一条以为端点、长度相同的“连角弧”；

②以为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是_______．

(2)如图2，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，若是半圆，也是的“连角弧”，求的取值范围．

(3)如图3，已知点分别在射线上，是的“连角弧”，且所在圆的半径为，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ①，作图见解析；② ；(2) 1≤t≤3；(3) 0°<∠AOB≤30°；

【解析】

(1) ①根据弧长公式计算，即可得到答案；以ON、OM为边长做正方形OMHN，再以H为圆心，OM为半径画弧，即可得到；②根据直径所对的弧长最长，计算即可得到答案；

(2)当MN垂直x轴交x轴于N点时，此时t最小；当MN垂直ON时，此时t最大，分这两种情况分别求出t即可得到t的范围；

(3)分OM⊥MN时，取到角度最大值，计算求解出角度的大小即可得到答案；

(1) ①根据弧长公式得到：；

以ON、OM为边长做正方形OMHN，再以H为圆心，OM为半径画弧，得到一条以为端点、长度相同的“连角弧”；作图如下：

②为端点，取得弧长最长的“连角弧”时，即当圆与OA,和OB分别相切于点M,N点时，

∵OM=ON=1，

∴，

即以为端点，弧长最长的“连角弧”的长度是；

(2)当MN垂直x轴交x轴于N点时，此时t最小，如果N再向左，则MN不是直径，即是半圆，所以如图取得最小值：

∵，

∴，并且∠MON=60°，

∴ON=1（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半），

即此时t=1；

当MN垂直ON时，此时t最大，如果N再向右，则是不是半圆，如图t取得最大值：

∵，

∴，并且∠MON=30°，

∴ON=4（直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半）；

综上，t的范围是1≤t≤4；

(3) 0°<∠AOB≤30°