题目内容
如图,将一块含30°角的学生用三角板放在平面直角坐标系中,使顶点A、B分别放置在y轴、x轴上,已知AB=2,∠ABO=∠ACB=30°.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若不存在,请说明理由;若存在,请你求出点P的坐标.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线解析式;
(3)在(2)中的抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于△ABC的面积?若不存在,请说明理由;若存在,请你求出点P的坐标.
(1)在Rt△AOB中,∠ABO=30°,AB=2,
则OA=1,OB=
,
∴点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(
,0),
在Rt△ABC中,AB=2,∠ACB=30°,
则BC=ABcot∠ACB=2
,
过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示:
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BC=2
,
则BD=BCsin∠BCD=
,CD=
BD=3,
故点C的坐标为(2
,3).
综上可得点A(0,1),点B(
,0),点C(2
,3).
(2)设y=ax2+bx+1,
将B(
,0),C(2
,3)代入可得:
,
解得:
,
故抛物线解析式为:y=
x2-
x+1.
(3)①当点P与点C重合时,很明显△PAB的面积等于△ABC,此时点P的坐标为(2
,3).
②点P与点C不重合时,设直线AB解析式为y=kx+1,
将B(
,0)代入可得:
k+1=0,
解得:k=-
,
∴y=-
x+1,
过点C作直线AB的平行线,则与抛物线交点为点P的位置,
设直线CP的解析式为y=-
x+m,
将C(2
,3)代入可得:3=-
×2
+m,
解得:m=5,
∴直线CP的解析式为y=-
x+5,
联立抛物线与直线CP的解析式:
,
解得:
,
,
故此时点P的坐标为(-
,6).
综上可得点P的坐标为(2
,3)或(-
,6).
则OA=1,OB=
3 |
∴点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(
3 |
在Rt△ABC中,AB=2,∠ACB=30°,
则BC=ABcot∠ACB=2
3 |
过点C作CD⊥x轴于点D,如图所示:
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,BC=2
3 |
则BD=BCsin∠BCD=
3 |
3 |
故点C的坐标为(2
3 |
综上可得点A(0,1),点B(
3 |
3 |
(2)设y=ax2+bx+1,
将B(
3 |
3 |
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解得:
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故抛物线解析式为:y=
2 |
3 |
3 |
(3)①当点P与点C重合时,很明显△PAB的面积等于△ABC,此时点P的坐标为(2
3 |
②点P与点C不重合时,设直线AB解析式为y=kx+1,
将B(
3 |
3 |
解得:k=-
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3 |
∴y=-
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3 |
过点C作直线AB的平行线,则与抛物线交点为点P的位置,
设直线CP的解析式为y=-
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3 |
将C(2
3 |
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3 |
3 |
解得:m=5,
∴直线CP的解析式为y=-
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3 |
联立抛物线与直线CP的解析式:
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解得:
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故此时点P的坐标为(-
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综上可得点P的坐标为(2
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