Question

如图，在?ABCD中，AB=2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．

Answer 1

分析：由AB=2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°，进而可得出DM与MC的位置关系．

解答：证明：DM与MC互相垂直，
∵M是AB的中点，
∴AB=2AM，
又∵AB=2AD，
∴AM=AD，
∴∠ADM=∠AMD，
∵?ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠AMD=∠MDC，
∴∠ADM=∠MDC，
即∠MDC=

1

2

∠ADC，
同理∠MCD=

1

2

∠BCD，
∵?ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠MDC+∠MCD=

1

2

∠BCD+

1

2

∠ADC=90°，
即∠MDC+∠MCD=90°，
∴∠DMC=90°，
∴DM与MC互相垂直．

点评：本题考查的是平行四边形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形的判定及性质，应熟练掌握平行四边形的性质，并能求解一些简单的计算、证明等问题．