题目内容
【题目】如图所示,Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,BC=2,⊙O是△ABC的外接圆,D是CB延长线上一点,且BD=1,连接DA,点P是射线DA上的动点.
(1)求证DA是⊙O的切线;
(2)DP的长度为多少时,∠BPC的度数最大,最大度数是多少?请说明理由.
(3)P运动的过程中,(PB+PC)的值能否达到最小,若能,求出这个最小值,若不能,说明理由.
【答案】
(1)证明:如图,
连接AO,
∵∠=30°,
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△ABO是等边三角形,AB=BD=1,
∴∠ADC=∠DAB= ∠ABO=30°,
∵∠AOC=60°,
∴∠DAO=90°,
∴DA是⊙O的切线
(2)解:如图1,
当点P运动到A处时,
即DP=DA= 时,∠BPC的度数达到最大,为90°.
理由如下:若点P不在A处时,不妨设点P在DA的延长线上的时,
连接BP,与⊙O交于一点,记为点E,
连接CE,
则∠BPC<∠BEC=∠BAC=90°
(3)解:如图2,
作点C关于射线DA的对称点C′,
则BP+PC=BP+PC′,
当点C′,P,B三点共线时,(BP+PC′)的值达到最小,最小值为BC′.
过点C′作DC的垂线,垂足记为点H,连接DC′,
在Rt△DCP中,∠PDC=30°,
∴△DCC′为等边三角形,
故H为DC的中点,
∴BH=DH﹣DB= CD﹣DB= ﹣1= ,C'H= DH=
在Rt△BC'H中,根据勾股定理得,BC'= = .
∴(BP+PC)的最小值为 .
【解析】(1)先判断出△ABO是等边三角形,进而得出∠ADC=30°,即可得出∠DAO=90°即可得出结论;(2)判断出∠BPC最大时的点P的位置;(3)利用对称性确定出PB+PC=BC'利用勾股定理计算即可.