Question

【题目】随着近几年城市建设的快速发展.某市对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1(万元)与投资量x(万元)成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2(万元)与投资量x(万元)的函数关系如图②所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点；AB//x轴）。

(1)求出y1和y2关于投资量x的函数关系式

(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润W(万元)关于投入种植花卉的资金t(万元)之间的函数关系式:

(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的利润最大，最大利润是多少?

Answer 1

【答案】（1）y1=2x，；（2）；（3）当t=4时，W取得最大值为46万.

【解析】

(1)从y2(万元)与投资量x(万元)的函数关系图可知，当0<x≤5时y2与x的关系式图象为二次函数图象的一部分，当x>5时，y2=25，故应分两种情况；

(2)根据(1)中所求关系式及y1=2x及共投资15万元，列出关于w、t的函数关系式；

(3)由(2)中w、t的关系式求出w的最大值即可．

解：(1)设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过(1，2)，

所以2=k1，k=2，故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x；

由函数图象可知，当x≤5时，y2与x的关系式图象为抛物线的一部分，

设此抛物线的解析式为：y2=a(x-5)2+25，

把(0，0)代入解析式得，0=25a+25(x≤5)．解得a=-1，

故函数解析式为y2=-(x-5)2+25(x≤5)．

当x＞5时，y2=25(x＞5），

故y2与x的关系式为；

(2)因为投入种植花卉t万元，则投入种植树木（15-t）万元，

当t≤5时，y1=2(15-t)，y2=-(t-5)2+25，

则W=-(t-5)2+25+2(15-t)=-t2+8t+30；

当5＜t＜15时，y1=2(15-t)，y2=25，

则W=55-2t．总利润W(万元)关于投入种植花卉的资金t(万元)之间的函数关系式；

(3)当t≤5时W=-t2+8t+30，根据二次函数的性质，当万元时，W取得最大值，W最大值=-42+8×4+30=-16+32+30=46万．

当5＜t＜15，∵-2＜0，w随t的增大而减小，∴当t=5时，w最大值为45，∵45＜46，

∴当t=4时，W取得最大值为46万.

故答案为：(1)y1=2x，；(2)；（3）当t=4时，W取得最大值为46万.