题目内容
【题目】阅读下列材料
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,使于观察如何进行因式分解我们把这种因式分解的方法称为“换元 法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x+4x+1)(x+4x+7)+9 进行因式分解的过程.
解:设 x+4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9 (第一步)
=y+8y+16 (第二步)
=(y+4) (第三步)
=(x+4x+4) (第四步）
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 .
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: .
(3)请你用换元法对多项式(x－2x)(x－2x+2)+1 进行因式分解
(4)当 x= 时,多项式(x－2x)(x－2x+2)－1 存在最 值(填“大”或“小”).请你求出这 个最值
【答案】（1）C；（2）（x-2）4；（3）见解析；（4）1；小，-2.
【解析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式；
（4）把原式变形为
，由
即可得解.
（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法，
故选：C；
（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，
设x2-4x=y，
原式=（y+1）（y+7）+9，
=y2+8y+16，
=（y+4）2，
=（x2-4x+4）2，
=（x-2）4；
故答案为：（x-2）4；
（3）设x2-2x=y，
原式=y（y+2）+1，
=y2+2y+1，
=（y+1）2，
=（x2-2x+1）2，
=（x-1）4．
（4）设x2-2x=y，
原式=y（y+2）-1，
=y2+2y-1，
=（y+1）2-2，
= (x－2x+1) －2
= (x－1)4－2
∵(x－1)4≥0，
∴当x=1时，多项式(x－2x)(x－2x+2)－1 存在最小值，为：-2.
