题目内容
【题目】如图，抛物线y=
x2+ x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，
）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．
（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）y=
x2+x-3，y=
x+3（2）AN=
【解析】试题（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；
（2）①在Rt△AOB和Rt△AOD中可求得∠OAB=∠OAD，在Rt△OPQ中可求得MP=MO，可求得∠MPO=∠MOP=∠AON，则可证得△APM∽△AON；
②过M作ME⊥x轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用△APM∽△AON可表示出AN．
（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得
，解得c=﹣3，∴抛物线解析式为
，令y=0可得
，解得x=﹣4或x=3，∴A（﹣4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把A、C坐标代入可得：
，解得：
，∴直线AC的函数表达式为
；
（2）①∵在Rt△AOB中，tan∠OAB=
=，在RtAOD中，tan∠OAD=
=，∴∠OAB=∠OAD，∵在Rt△POQ中，M为PQ的中点，∴OM=MP，∴∠MOP=∠MPO，且∠MOP=∠AON，∴∠APM=∠AON，∴△APM∽△AON；
②如图，过点M作ME⊥x轴于点E，则OE=EP，∵点M的横坐标为m，∴AE=m+4，AP=2m+4，∵tan∠OAD=，∴cos∠EAM=cos∠OAD=
，∴
=，∴AM=
AE=
，∵△APM∽△AON，∴
，即
，∴AN=．
