题目内容
【题目】已知抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．
（1）若点A的坐标是（﹣2，﹣4），
①求抛物线的解析式；
②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；
（2）若直线y2＝ax+b经过点A，当1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．
【答案】（1）①y1＝x2+4x；②﹣
＜n＜﹣2；（2）当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
【解析】
（1）①设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，根据抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，得到0＝4a﹣4，于是得到结论；
②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，得到抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，于是得到结论；
（2）将函数y1的解析式配方，即可找出其顶点坐标，将顶点坐标代入函数y2的解析式中，即可得出a、b的关系，再根据ab≠0，用a表示出b，两函数解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根据x的取值范围可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0两种情况考虑，即可得出结论．
（1）①∵顶点A（﹣2，﹣4），
∴设抛物线的解析式为：y1＝a（x+2）2﹣4，
∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，
∴0＝4a﹣4，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y1＝x2+4x；
②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，则x2+2x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴的交点为：（﹣2，0），（0，0）；
解
得，x2+3x﹣n＝0，
∵抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y＝﹣x+n与图象G有两个不同的交点，
∴△＝9+4n＞0，
∴n＞﹣，
当直线y＝﹣x+n过点（﹣2，0），则n＝﹣2，
∴n的取值范围为：﹣＜n＜﹣2；
（2）∵抛物线y1＝ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，
∴y1＝ax2+bx＝a（x+
）2﹣
，
∴函数y1的顶点为（﹣，﹣），
∵函数y2的图象经过y1的顶点，
∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，
∵ab≠0，
∴﹣b＝2a，
∴b＝﹣2a，
∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，
∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．
∵1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．
当a＞0时，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；
当a＜0时，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．
【题目】某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x（元） | 3.5 | 5.5 |
销售量y（袋） | 280 | 120 |
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
