Question

抛物线y=a（x+2）²+c与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（-1，0），OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一个动点，且S_△BCM=S_△ABC，求点M的坐标；
（3）Q为直线y=-x-4上一点，在此抛物线的对称轴是否存在一点P，使得∠APB=2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据函数的解析式可以得到函数的对称轴是x=-2，则B点的坐标可以求得，求得OB的长，则C的坐标可以求得，把A、C的坐标代入函数解析式即可求得；
（2）首先利用待定系数法求得直线BC的解析式，然后根据S_△BCM=S_△ABC，即可求得BC边上的高，则M所在的直线的解析式可以求得，然后解M所在直线的解析式与二次函数的解析式组成的方程组即可求得M的坐标；
（3）设P（-2，m），以P为圆心的圆与直线y=-x-4相切，根据切线的性质即可求解．

解答：解：（1）由抛物线y=a（x+2）²+c可知，其对称轴为x=-2，
∵点A坐标为（-1，0），
∴点B坐标为（-3，0），
∵OB=OC，
∴C点坐标为（0，-3）．
将A（-1，0）、C（0，-3）分别代入解析式得，

a+c=0 4a+c=-3

，
解得，

a=-1 c=1

，
则函数解析式为y=-x²-4x-3．

（2）BC：y=-x-3，
∴AM：y=-x-1，

y=-x-1 y=-x2-4x-3

∴M（-2，1），
同理

y=-x-5 y=-x2-4x-3

，
∴M（

-3+ 17

2

，-

7+ 17

2

）或（-

3+ 17

2

，

17 -7

2

），

（3）设P（-2，m），以P为圆心的圆与直线y=-x-4相切，得

(m+2)2

2

=1+m2，m=2±

6

，
故P（-2，2+

6

）或（-2，2-

6

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线与圆相切的判定，正确理解切线的判定方法是关键．