题目内容

已知:如图,⊙A与y轴交于C、D两点,圆心A的坐标为(1,0),⊙A的半径为
5
过C作⊙A的切线交x轴于点B.
(1)求切线BC的解析式;
(2)若点P是第一象限内⊙A上的一点,过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G,且∠CGP=120°,求点G的坐标;
(3)向左移动⊙A(圆心A始终保持在x轴上),与直线BC交于E、F,在移动过程中是否存在点A,使△AEF是直角三角形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)连接AC,则OC=
(
5
)2-1
=2,故点C的坐标为(0,2),
∵BC为⊙O的切线,
∴AC⊥BC,
在Rt△ABC中,(OB+OA)2=BC2+AC2,即(OB+1)2=BC2+5①,
在Rt△OBC中,BC2=OB2+OC2,即OBC2=OB2+4②,
①②联立得,OB=4,
∴点B的坐标为(-4,0)
∴直线BC的解析式为y=
1
2
x+2;

(2)如图1:
解法一:过G点作x轴垂线,垂足为H,连接AG,设G(x0,y0),
在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=
5
,求得CG=
15
3

又∵OB=4,
∴BC=
OB2+OC2
=2
5

∵OCGH,
OH
BO
=
CG
BC
,则OH=
2
3
3
,即x0=
2
3
3

又∵点G在直线BC上,
∴y0=
1
2
×
2
3
3
+2
=
3
3
+2,
∴G(
2
3
3
3
3
+2),
解法二:过G点作y轴垂线,垂足为H,连接AG
在Rt△ACG中,∠AGC=60°,AC=
5
,求得CG=
15
3

由△BCO△GCH,得
CH
GH
=
CO
BO
=
1
2

即GH=2CH,
在Rt△CHG中,CG=
15
3
,GH=2CH,得CH=
3
3
,HG=
2
3
3

∴G(
2
3
3
3
3
+2);

(3)方法一
如图2:
在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形.
若△AEF为直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF为等腰三角形,
∴∠AEF=∠AFE≠90°,
∴∠EAF=90°,
过A作AM⊥BC于M,
在Rt△AEF中,EF=
AE2+AF2
=
(
5
)
2
+(
5
)
2
=
10

AM=
1
2
EF=
1
2
10

证出△BOC△BMA得,
OC
AM
=
BC
AB

而BC=
OC2+OB2
=
22+42
=2
5
,OC=2,可得AB=
5
2
2

∴OA=4-
5
2
2

∴A(-4+
5
2
2
,0),
当圆心A在点B的左侧时,设圆心为A′,
过A′作A′M′⊥BC于M′,可得△A′M′B′≌△AMB,
∴A′B=AB=
5
2
2

∴OA′=OB+A′B=4+
5
2
2

∴A′(-4-
5
2
2
,0),
∴A(-4+
5
2
2
,0)或A′(-4-
5
2
2
,0)
方法二:
如图3,
在移动过程中,存在点A,使△AEF为直角三角形
若△AEF为直角三角形
∵AE=AF
∴△AEF为等腰三角形
∴∠AEF=∠AFE≠90°
∴∠EAF=90°(11分)
过F作FM⊥x轴于M,EN⊥x轴于N,EH⊥MF于H
设AN=x,EN=y
由△AEN≌△FAM
可得AM=y,FM=x
FH=x-y
EH=x+y,由
FH
EH
=
OC
OB
=
2
4
=
1
2
,即
x-y
x+y
=
1
2

∴x=3y
在Rt△AEN中,
x2+y2=(
5
2
x2+y2=5,
解得
x=
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,EB=5,求图中阴影部分的面积.

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