题目内容
如图，已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC．
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若AB=2，PA=
，求BC的长．（结果保留根号）
（1）求证：△ABC∽△POA；
（2）若AB=2，PA=
| 2 |
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠CBA．
则△ABC∽△POA．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB=2，
∴OA=1．
∵在Rt△OAP中，PA=
，
∴OP=
=
．
∵由（1）可知△ABC∽△POA，
∴
=
．
则BC=
=
．
∴求得BC=
．
∴∠ACB=90°．
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠CBA．
则△ABC∽△POA．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB=2，
∴OA=1．
∵在Rt△OAP中，PA=
| 2 |
∴OP=
| PA2+OA2 |
| 3 |
∵由（1）可知△ABC∽△POA，
∴
| BC |
| OA |
| AB |
| OP |
则BC=
| AB•OA |
| OP |
| 2×1 | ||
|
∴求得BC=
| 2 |
| 3 |
| 3 |
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过C作⊙A的切线交x轴于点B．
