题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),抛物线对称轴l与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)点P在抛物线上,且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点P的坐标;
(3)连接AC.探索:在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请你求出点N的坐标;若不存在,请你说明理由.
【答案】
(1)
解:根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),
把点A(0,4)代入上式得:a= ,
∴y= (x﹣1)(x﹣5)=
x2﹣
x+4=
(x﹣3)2﹣
,
∴抛物线的对称轴是:x=3
(2)
解:P点坐标为:(6,4),
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,
又∵点P的坐标中x>5,
∴MP>2,AP>2;
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,
在Rt△AOM中,AM= =
=5,
∵抛物线对称轴过点M,
∴在抛物线x>5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5,
即PM=5,此时点P横坐标为6,即AP=6;
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立,
即P(6,4)
(3)
解:在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.
设N点的横坐标为t,此时点N(t, t2﹣
t+4)(0<t<5),
过点N作NG∥y轴交AC于G;作AM⊥NG于M,
由点A(0,4)和点C(5,0)可求出直线AC的解析式为:y=﹣ x+4;
把x=t代入得:y=﹣ t+4,则G(t,﹣
t+4),
此时:NG=﹣ x+4﹣(
t2﹣
t+4)=﹣
t2+4t,
∵AM+CF=CO,
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN= AM×NG+
NG×CF=
NGOC=
(﹣
t2+4t)×5=﹣2t2+10t=﹣2(t﹣
)2+
,
∴当t= 时,△CAN面积的最大值为
,
由t= ,得:y=
t2﹣
t+4=﹣3,
∴N( ,﹣3).
【解析】(1)抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣5),代入A(0,4)即可求得函数的解析式,则可求得抛物线的对称轴;(2)由已知,可求得P(6,4),由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3,又知点P的坐标中x>5,所以MP>2,AP>2;因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意,所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况,则分析求解即可求得答案;(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使△NAC面积最大.设N点的横坐标为t,此时点N(t, t2﹣
t+4)(0<t<5),再求得直线AC的解析式,即可求得NG的长与△ACN的面积,由二次函数最大值的问题即可求得答案.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)