Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中，点A（8,0），点P（0，m），将线段PA绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为 ．

Answer 1

【答案】8
【解析】如图，过B作BD⊥y轴交于点D，则∠BPD+∠PBD=90°，
∵∠BPD+∠APO=90°，
∴∠PBD=∠APO，
又∵PA=PB，∠PDB=∠POA=90°，
所以△OAP≌△DPB，
则DP=OA=8，BD=OP=|m|，
则OD=OP+PD=|m|+8，
当m>0时，B（m,m+8）；
当m=0时，B（0,8）；
当m<0时，B（m,m+8）；
则点B（m,m+8）在直线y=x+8.

作点A关于直线y=x+8的对称点A'，连接A'O
交直线y=x+8于点B，连接AB，此时AB+OB的值最小，即为OA’的长，连接AA'，
过A'作AF⊥y轴交于点F，直线y=x+8与y轴的交点为E（0,8）.
易求得△OAE≌△FA'E,
则A'F=OA=8，EF=OE=8，
则A'(-8,16).
所以OA'=.
则AB+OB的值最小为8.
故答案为8.

构造全等三角形，求出点B的坐标，从而得到点B的运动轨迹的一条直线，然后根据轴对称图形求最短径的方法求解.