题目内容
如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=4，求DE和AF的长．
分析：（1）根据已知及菱形的性质利用AAS判定△ADF∽△DEC．
（2）勾股定理求出AE，DE的长，再根据相似三角形的性质求出AF的长．
（2）勾股定理求出AE，DE的长，再根据相似三角形的性质求出AF的长．
解答：（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠C=∠AFD．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
∵AD=DC，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，
∴BE=2，AE=2
，DE=
=2
．
∵△ADF∽△DEC，
∴
=
．
∴AF=
．
∴∠C=∠AFD．
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
∵AD=DC，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，
∴BE=2，AE=2
| 3 |
| AD2+AE2 |
| 7 |
∵△ADF∽△DEC，
∴
| DE |
| AD |
| DC |
| AF |
∴AF=
8
| ||
| 7 |
点评：本题考查了菱形的性质及勾股定理的应用，会用相似三角形对应边成比例求线段的长．
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