题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,把Rt△AOB绕点A顺时针旋转角α(30°<α<180°),得到△AO′B′.
(1)当α=60°时,判断点B是否在直线O′B′上,并说明理由;
(2)连接OO′,设OO′与AB交于点D,当α为何值时,四边形ADO′B′是平行四边形?请说明理由.

【答案】
(1)解;如图1中,

∵一次函数y=﹣ x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

∴A( ,0),B(0,1),

∴tan∠BAO=

∴∠BAO=30°,AB=2OB=2,

∵旋转角为60°,

∴B′( ,2 ),O′( ),

设直线O′B′解析式为y=kx+b,

∴, ,解得

∴直线O′B′的解析式为y= x+1,

∵x=0时,y=1,

∴点B(0,1)在直线O′B′上


(2)解;如图2中,当α=120°时,四边形ADO′B′是平行四边形.

理由:∵AO=AO′,∠OAO′=120°,∠BAO=30°,

∴∠DAO′=∠AO′B′=90°,∠O′AO=∠O′AB′=30°,

∴AD∥O′B′,DO′∥AB′,

∴四边形ADO′B′是平行四边形


【解析】(1)首先证明∠BAO=30°,再求出直线O′B′的解析式即可解决问题.(2)如图2中,当α=120°时,四边形ADO′B′是平行四边形.只要证明∠DAO′=∠AO′B′=90°,∠O′AO=∠O′AB′=30°,即可解决问题.
【考点精析】掌握平行四边形的判定是解答本题的根本,需要知道两组对边分别平行的四边形是平行四边形:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.

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