Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在射线OA上，点D在射线OB上，且OD＝2OC，以CD的中点为对称中心作△COD的对称图形△DEC．设点C的坐标为（0，n），△DEC在直线AB下方部分的面积为S．

（1）当点E在AB上时，n＝　 　，当点D与点B重合时，n＝　 　；

（2）求S关于n的函数解析式，并直接写出自变量n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；2；（2）

【解析】

（1）根据题意证得四边形DOCE是矩形，即可得到E（-2n，n），D（-2n，0），由直线上点的坐标特征求得n的值即可；
（2）分两种情况讨论：①当直线AB经过线段DE时，求得直线与DE和EC的交点坐标，进而求得△MEN的面积，则根据S=S△EDC-S△EMN即可求得S关于n的函数解析式；②当直线AB经过线段DC时，求得直线与DC的交点，然后根据三角形面积公式即可求得．

解：（1）设点C的坐标为（0，n），则D（﹣2n，0），

∵△COD与△DEC关于P点成中心对称，

∴PD＝PC，PE＝PO，

∴四边形DOCE是平行四边形，

∵∠DOC＝90°，

∴四边形DOCE是矩形，

∴E（﹣2n，n），

点E在AB上时，则n＝（﹣2n）+3，

解得n＝；

当点D与点B重合时，则0＝（﹣2n）+3，

解得n＝2，

故答案为，2；

（2）如图2，当直线AB经过线段DE时，

把x＝﹣2n代入y＝x+3得y＝﹣n+3，把y＝n代入y＝x+3求得x＝n﹣4，

∴M（﹣2n，﹣n+3），N（n﹣4，n），

∴S△EMN＝（n+n﹣3）（n﹣4+2n）

∴S＝S△EDC﹣S△EMN＝2nn﹣（n+n﹣3）（n﹣4+2n）＝﹣n2+10n﹣6（≤n≤2），

当直线AB经过线段DC时，

∵OD＝2OC，

∴直线DC的解析式为y＝x+n，

解得，

∴S＝（n﹣4）（6﹣2n）＝﹣n2+8n﹣12（2＜n≤3）．

综上，S＝．