题目内容
在直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,交y轴于点C,过A点的直线与抛物线的另一交点为D(m,3),与y轴相交于点E,点A的坐标为(-1,0),tan∠DAB=
,点P是抛物线上的一点,且点P在第一象限.
(1)求直线AD和抛物线的解析式;
(2)若PC⊥CB,求△PCB的周长;
(3)若S△PBC=S△BOC,求点P的坐标.
1 |
2 |
(1)求直线AD和抛物线的解析式;
(2)若PC⊥CB,求△PCB的周长;
(3)若S△PBC=S△BOC,求点P的坐标.
考点:二次函数综合题
专题:探究型
分析:(1)作DF⊥AB于F,由tan∠DAB=
=
,D(m,3)可求出AF的长,再根据A(-1,0)可得出AF的长,故可得出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,同理,利用待定系数法可求出抛物线y=ax2+bx+3的解析式;
(2)作PG⊥y轴于G,根据BC两点的坐标求出OC,OB的长,当PC⊥CB时,由相似三角形的判定定理得出△PGC∽△COB,故CG=2PG,设P(m,-
m2+
m+3),则CG=2m,故-
m2+
m+3=2m+3,由此可得出m的值,故可得出P点坐标,根据勾股定理可得出PC,BC,PB的长,故可得出三角形的周长;
(3)过P作直线l∥BC交y轴于H,根据S△PBC=S△BOC,且两三角形同底可得CH=OC=3,故可得出H点的坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式,故可得出直线PH的解析式,联立直线PH与抛物线的解析式即可得出P点坐标.
DF |
AF |
1 |
2 |
(2)作PG⊥y轴于G,根据BC两点的坐标求出OC,OB的长,当PC⊥CB时,由相似三角形的判定定理得出△PGC∽△COB,故CG=2PG,设P(m,-
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2 |
5 |
2 |
1 |
2 |
5 |
2 |
(3)过P作直线l∥BC交y轴于H,根据S△PBC=S△BOC,且两三角形同底可得CH=OC=3,故可得出H点的坐标,利用待定系数法求出直线BC的解析式,故可得出直线PH的解析式,联立直线PH与抛物线的解析式即可得出P点坐标.
解答:解:(1)作DF⊥AB于F.
∵tan∠DAB=
=
,D(m,3).
∴AF=6,DF=3,
∵A(-1,0),
∴OF=6-1=5,D(5,3)
设直线AD为y=kx+b
则
,解得
,
∴直线AD的解析式y=
x+
.
∵抛物线y=ax2+bx+3过A,D两点.
∴
,解得
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+3;
(2)作PG⊥y轴于G.
∵由(1)知,抛物线的解析式为y=-
x2+
x+3,
∴易求C(0,3),B(6,0),
∴OC=3,OB=6
当PC⊥CB时,
∵∠GPC+∠PCG=90°,∠OCB+∠PCG=90°,
∴∠GPC=∠OCB,
∵∠PGC=∠COF=90°,
∴△PGC∽△COB.
∴CG=2PG
设P(m,-
m2+
m+3),则CG=2m.
∴-
m2+
m+3=2m+3,
解得m=0(舍),或m=1,
∴P(1,5),
∴PC=
,BC=
=3
,
PB=
=5
,
∴△PCB的周长=
+3
+5
=4
+5
;
(3)过P作直线l∥BC交y轴于H.
∵S△PBC=S△BOC,且两三角形同底,
∵OC=3,
∴CH=OC=3,
∴H(0,6),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵B(6,0),C(0,3),
∴
,
∴直线BC的解析式为y=-
x+3,
∴直线PH的解析式为y=-
x+6,
∵
,
∴-
x2+
x+3=-
x+6,
化简得,x2-6x+6=0,解得x=3±
∴P点坐标为(3-
,
),(3+
,
).
∵tan∠DAB=
DF |
AF |
1 |
2 |
∴AF=6,DF=3,
∵A(-1,0),
∴OF=6-1=5,D(5,3)
设直线AD为y=kx+b
则
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|
∴直线AD的解析式y=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵抛物线y=ax2+bx+3过A,D两点.
∴
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|
∴抛物线的解析式为y=-
1 |
2 |
5 |
2 |
(2)作PG⊥y轴于G.
∵由(1)知,抛物线的解析式为y=-
1 |
2 |
5 |
2 |
∴易求C(0,3),B(6,0),
∴OC=3,OB=6
当PC⊥CB时,
∵∠GPC+∠PCG=90°,∠OCB+∠PCG=90°,
∴∠GPC=∠OCB,
∵∠PGC=∠COF=90°,
∴△PGC∽△COB.
∴CG=2PG
设P(m,-
1 |
2 |
5 |
2 |
∴-
1 |
2 |
5 |
2 |
解得m=0(舍),或m=1,
∴P(1,5),
∴PC=
5 |
32+62 |
5 |
PB=
(6-1)2+52 |
2 |
∴△PCB的周长=
5 |
5 |
2 |
5 |
2 |
(3)过P作直线l∥BC交y轴于H.
∵S△PBC=S△BOC,且两三角形同底,
∵OC=3,
∴CH=OC=3,
∴H(0,6),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∵B(6,0),C(0,3),
∴
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∴直线BC的解析式为y=-
1 |
2 |
∴直线PH的解析式为y=-
1 |
2 |
∵
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∴-
1 |
2 |
5 |
2 |
1 |
2 |
化简得,x2-6x+6=0,解得x=3±
3 |
∴P点坐标为(3-
3 |
9+
| ||
2 |
3 |
9-
| ||
2 |
点评:本题考查的是二次函数综合题,涉及到用到定系数法求一次函数及二次函数的解析式,相似三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等相关知识,难度较大.
练习册系列答案
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如果一个多边形的内角和等于它的外角和,则这个多边形是( )边形.
A、四 | B、五 | C、六 | D、七 |
下列运算正确的是( )
A、a2•a3=a6 | ||
B、
| ||
C、3a+2a=a5 | ||
D、(a+b)2=a2+b2 |