Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题

分析：（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后判断出平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式△=0时方程只有一个根求解即可；
（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，
∴

9a-3b+2=0 a+b+2=0

，
解得

a=- 2 3 b=- 4 3

，
∴二次函数的解析式为y=-

2

3

x²-

4

3

x+2；

（2）令x=0，则y=2，
∴点C（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+m（k≠0），
则

-3k+m=0 m=2

，
解得

k= 2 3 m=2

，
∴直线AC的解析式为y=

2

3

x+2，
由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，
此时设过点P的直线为y=

2

3

x+n，
联立

y=- 2 3 x2- 4 3 x+2 y= 2 3 x+n

，
消掉y得，-

2

3

x²-

4

3

x+2=

2

3

x+n，
整理得，2x²+6x-6+3n=0，
△=6²-4×2×（-6+3n）=0，
解得n=

7

2

，
此时x₁=x₂=-

6

2×2

=-

3

2

，
y=

2

3

×（-

3

2

）+

7

2

=

5

2

，
∴点P（-

3

2

，

5

2

）时，△ACP的面积最大；

（3）存在点Q（-2，2）或（-

3

4

，

21

8

）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，-

2

3

c²-

4

3

c+2），
BE=1-c，
①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，
∴

OA

BE

=

OC

QE

，
即

3

1-c

=

2

- 2 3 c2- 4 3 c+2

，
整理得，c²+c-2=0，
解得c₁=-2，c₂=1（舍去），
此时，-

2

3

×（-2）²-

4

3

×（-2）+2=2，
点Q（-2，2）；
②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，
∴

OA

QE

=

OC

BE

，
即

3

- 2 3 c2- 4 3 c+2

=

2

1-c

，
整理得，4c²-c-3=0，
解得c₁=-

3

4

，c₂=1（舍去），
此时，-

2

3

×（-

3

4

）²-

4

3

×（-

3

4

）+2=

21

8

，
点Q（-

3

4

，

21

8

），
综上所述，存在点Q（-2，2）或（-

3

4

，

21

8

）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（2）判断出与AC平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积最大是解题的关键，（3）要分情况讨论．