题目内容
如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,其中A点坐标为(-1,0),线段AB=6,sin∠ABC=
,M为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积;
(3)若点D为线段BM上任一点(点D不与点B重合,可与点M重合),过点D作垂直于x轴的直线x=t,交抛物线于点E,交线段BC于点F.
①求当t为何值时,线段DE有最大值?最大值是多少?
②是否存在这样的点D,使得
=
?若存在,求出D点的坐标;若不存在,则请说明理由.
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2 |
(1)求抛物线的解析式;
(2)求△MCB的面积;
(3)若点D为线段BM上任一点(点D不与点B重合,可与点M重合),过点D作垂直于x轴的直线x=t,交抛物线于点E,交线段BC于点F.
①求当t为何值时,线段DE有最大值?最大值是多少?
②是否存在这样的点D,使得
ED |
FD |
1 |
2 |
考点:二次函数综合题
专题:综合题
分析:(1)求出OB的长度,得出点B的坐标,再由sin∠ABC=
,得出∠ABC=45°,CO=BO=5,从而得出点C的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)过点M作MH⊥x轴于点H,根据S△MCB=S梯形COHM+S△MHB-S△OBC,即可得出△MCB的面积;
(3)①求出直线BM的解析式,点E的纵坐标减去点D的纵坐标,可得出DE关于t的表达式,求出最值即可;
②求出直线BC的解析式,表示出FD的长度,再由
=
,可得关于t的方程,解出即可.
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2 |
(2)过点M作MH⊥x轴于点H,根据S△MCB=S梯形COHM+S△MHB-S△OBC,即可得出△MCB的面积;
(3)①求出直线BM的解析式,点E的纵坐标减去点D的纵坐标,可得出DE关于t的表达式,求出最值即可;
②求出直线BC的解析式,表示出FD的长度,再由
ED |
FD |
1 |
2 |
解答:解:(1)∵A(-1,0),AB=6,
∴OB=5,
∴B的坐标为(5,0),
∵sin∠ABC=
,
∴∠ABC=45°,
∴CO=BO=5,
∴C的坐标是(0,5),
把A、B、C代入得:
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x+5;
(2)
∵M为顶点,
∴x=-
=2,
∴y=9,
∴M的坐标为(2,9),
∴S△BCM=S△MCB=S梯形COHM+S△MHB-S△OBC=(5+9)×2×
+(5-2)×9×
-5×5×
=15;
(3)①设BM的解析式为:y=kx+b(k≠0),
将点B、点M的坐标代入可得:
,
解得:
,
∴y=-3x+15,
∵EF⊥AB,
∴xE=xD=t,
∴ED=-t2+4t+5-(-3t+15)=-t2+7t-10,
∴t=-
=3.5,
∴ED最大=
;
②设BC的解析式为:y=mx+n(m≠0),
将点B、点C的坐标代入可得:
,
解得:
,
∴y=-x+5,
∴ED=-t2+7t-10,FD=-2t+10,
当
=
时,2(-t2+7t-10)=-2t+10,
解得:t1=3,t2=5(与B重合舍去),
∴D的坐标为(3,6).
∴OB=5,
∴B的坐标为(5,0),
∵sin∠ABC=
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2 |
∴∠ABC=45°,
∴CO=BO=5,
∴C的坐标是(0,5),
把A、B、C代入得:
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解得:
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∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x+5;
(2)
∵M为顶点,
∴x=-
b |
2a |
∴y=9,
∴M的坐标为(2,9),
∴S△BCM=S△MCB=S梯形COHM+S△MHB-S△OBC=(5+9)×2×
1 |
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1 |
2 |
1 |
2 |
(3)①设BM的解析式为:y=kx+b(k≠0),
将点B、点M的坐标代入可得:
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解得:
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∴y=-3x+15,
∵EF⊥AB,
∴xE=xD=t,
∴ED=-t2+4t+5-(-3t+15)=-t2+7t-10,
∴t=-
b |
2a |
∴ED最大=
9 |
4 |
②设BC的解析式为:y=mx+n(m≠0),
将点B、点C的坐标代入可得:
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解得:
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∴y=-x+5,
∴ED=-t2+7t-10,FD=-2t+10,
当
ED |
FD |
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2 |
解得:t1=3,t2=5(与B重合舍去),
∴D的坐标为(3,6).
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积及配方法求二次函数的最值,同学们需要培养自己解答综合题的能力,将所学知识融会贯通.
练习册系列答案
相关题目
如图,CD是Rt△ABC斜边AB边上的高,AB=10cm,BC=8cm,则sin∠ACD=( )
A、
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B、
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C、
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D、
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已知点P(a、b),a+b>0,且a≠0,b≠0,那么点P不可能在( )
A、第一象限 | B、第二象限 |
C、第三象限 | D、第四象限 |