题目内容

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P,给出如下定义:

若点P满足PA=PB,则称P为线段AB的“轴点”,其中,当0°<∠APB<60°时,称P为线段AB的“远轴点”;当60°≤∠APB≤180°时,称P为线段AB的“近轴点”.

(1)如图1,点AB的坐标分别为(-2,0),(2,0),则在 中,线段AB的“近轴点”是 .

(2)如图2,点A的坐标为(3,0),点By轴正半轴上,且∠OAB=30°.

①若P为线段AB的“远轴点”,直接写出点P的横坐标t的取值范围

②点Cy轴上的动点(不与点B重合且BCAB),若Q为线段AB的“轴点”,当线段QBQC的和最小时,求点Q的坐标.

【答案】(1)P2 , P3;(2)t<0t>3;(3)当点Q的坐标为(1,0)时,线段QBQC的和最小

【解析】

1)利用近轴点的意义即可得出结论;(2)①根据远轴点的定义通过图像判断即可;②根据题意,点Q在线段AB的垂直平分线l上,将情况分为点BCl的同侧以及在l的异侧进行讨论:当BCl的同侧时,易知当点C与点O重合,QAO与直线l的交点时,QBQC最小,根据30°角的三角函数关系得到QCBQ的关系,再根据OAQCAQQCBQ3列方程求出Q点坐标即可;当BCl的异侧时,显然QB+QC3,即可得到答案.

(1)P2 , P3

(2)t0t3

②根据题意,点Q在线段AB的垂直平分线l上.

当点BC在直线l的同侧时,

对于满足题意的点C的每一个位置,都有QB+QC=QA+QC

QA+QCACACAO

∴当点C与点O重合,QAO 与直线l交点时,QB+QC最小.

∵∠OAB=30°,AQ=BQ

∴∠QBA=QBO=30°.

OQ=BQ

RtBOQ中,设OQ=x,则AQ=BQ=2x

3x=3

解得 x=1

Q(10)

当点BC在直线l的异侧时,QB+QC3

综上所述,当点Q的坐标为(10)时,线段QBQC的和最小.

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