题目内容
【题目】对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P,给出如下定义:
若点P满足PA=PB,则称P为线段AB的“轴点”,其中,当0°<∠APB<60°时,称P为线段AB的“远轴点”;当60°≤∠APB≤180°时,称P为线段AB的“近轴点”.
(1)如图1,点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),则在,,, 中,线段AB的“近轴点”是 .
(2)如图2,点A的坐标为(3,0),点B在y轴正半轴上,且∠OAB=30°.
①若P为线段AB的“远轴点”,直接写出点P的横坐标t的取值范围 ;
②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB),若Q为线段AB的“轴点”,当线段QB与QC的和最小时,求点Q的坐标.
【答案】(1)P2 , P3;(2)t<0或t>3;(3)当点Q的坐标为(1,0)时,线段QB与QC的和最小.
【解析】
(1)利用近轴点的意义即可得出结论;(2)①根据远轴点的定义通过图像判断即可;②根据题意,点Q在线段AB的垂直平分线l上,将情况分为点B,C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论:当B,C在l的同侧时,易知当点C与点O重合,Q为AO与直线l的交点时,QB+QC最小,根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系,再根据OA=QC+AQ=QC+BQ=3列方程求出Q点坐标即可;当B,C在l的异侧时,显然QB+QC>3,即可得到答案.
(1)P2 , P3.
(2)①t<0或t>3.
②根据题意,点Q在线段AB的垂直平分线l上.
当点B,C在直线l的同侧时,
对于满足题意的点C的每一个位置,都有QB+QC=QA+QC.
∵QA+QC≥AC,AC≥AO
∴当点C与点O重合,Q为AO 与直线l交点时,QB+QC最小.
∵∠OAB=30°,AQ=BQ,
∴∠QBA=∠QBO=30°.
∴OQ=BQ.
在Rt△BOQ中,设OQ=x,则AQ=BQ=2x.
∴3x=3.
解得 x=1.
∴Q(1,0).
当点B,C在直线l的异侧时,QB+QC>3.
综上所述,当点Q的坐标为(1,0)时,线段QB与QC的和最小.