Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，点E在射线AC上（不包括点A和点C），过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且GH∥DC，点F在BC的延长线上，CF＝AG，连接ED，EF，DF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，

①判断△AEG的形状，并说明理由．

②求证：△DEF是等边三角形．

（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，△DEF是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①△AEG是等边三角形；理由见解析；②证明见解析；（2）△DEF是等边三角形；理由见解析；

【解析】

（1）①由菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝∠BAD＝60°，由平行线的性质得出∠BAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝60°，∠AGE＝∠ADC＝60°，得出∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，即可得出△AEG是等边三角形；
②由等边三角形的性质得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠BAD＝120°，得出∠DCF＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是等边三角形；
（2）同（1）①得：△AEG是等边三角形，得出AG＝AE，由已知得出AE＝CF，由菱形的性质得出∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝∠BAD＝60°，得出∠FCD＝60°＝∠CAD，证明△AED≌△CFD（SAS），得出DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，再证出∠EDF＝60°，即可得出△DEF是等边三角形．

（1）①解：△AEG是等边三角形；理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，

∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∠CAD＝∠BAD＝60°，

∴∠BAD+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝60°，

∵GH∥DC，

∴∠AGE＝∠ADC＝60°，

∴∠AGE＝∠EAG＝∠AEG＝60°，

∴△AEG是等边三角形；

②证明：∵△AEG是等边三角形，

∴AG＝AE，

∵CF＝AG，

∴AE＝CF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BCD＝∠BAD＝120°，

∴∠DCF＝60°＝∠CAD，

在△AED和△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（SAS）

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°，

∴∠CDF+∠CDE＝60°，

即∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形；

（2）解：△DEF是等边三角形；理由如下：

同（1）①得：△AEG是等边三角形，

∴AG＝AE，

∵CF＝AG，

∴AE＝CF，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∠CAD＝∠BAD＝60°，

∴∠FCD＝60°＝∠CAD，

在△AED和△CFD中，，

∴△AED≌△CFD（SAS），

∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，

∵∠ADC＝∠ADE﹣∠CDE＝60°，

∴∠CDF﹣∠CDE＝60°，

即∠EDF＝60°，

∴△DEF是等边三角形．